Уравнение вида a sinx + b cosx = с

Пусть   разделим обе его части на  , тогда

Пусть  – одно из решений системы

Воспользовавшись этими равенствами, запишем уравнение в виде

Применив формулу   получим уравнение  которое, как видно равносильно исходному уравнению. Если   то уравнение имеет решение   или  Если   то уравнение решений не имеет.

Пример . 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда (3/5)sin x+(4/5) cos x=1 

sin j = 4/5; cos j = 3/5; sin ( x+ j ) = 1, x + j = п / 2 + 2 п n, n Î Z .

Ответ: x = п/ 2 - arcsin + 2 п n , n Î Z .

 Уравнения, рациональные относительно выражений sin x+cos x и sin x cos x 

Если левая часть тригонометрического уравнения f=0 содержит лишь одно из выражений sin x+cos x или  sin x - cos x и функцию sin 2x (или произведение sin x cos x ) то, вводя новое неизвестное t=sin x + cos x  или t=sin x - cos x и учитывая, что sin 2x=(sin x+cos x)2-1, 2x=1-(sin x-cos x)2 , приходим к уравнению относительно t .

Пример.

Решение. Понижая степень  , получаем   или  сделаем замену   тогда  Тем самым исходное уравнение приводится к квадратному относительно t уравнению:  откуда   Находим

Ответ:

 Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному

Заметим, что если тригонометрическое уравнение целого вида содержит только синусы или косинусы, то область допустимых значений переменной – множество действительных чисел, так как эти функции определены для любого действительного значения. Поэтому в дальнейшем при рассмотрении таких уравнений, как

область допустимых значений переменной не устанавливается.

Справедливы соотношения:

a)

b)

Формулы корней уравнений:

a)

b)

c)

Пример.

Решение. Пусть sinx=y, тогда уравнение можно записать в виде 8y2-6y-5=0.

Решая это уравнение, мы находим: Следовательно  или    Решим уравнение   

Уравнение  корней не имеет, т.к. sin x не может быть больше единицы.

Ответ:

Последнее изменение: Четверг, 11 Август 2011, 12:32