Тригонометрические уравнения. Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим.

Простейшие тригонометрические уравнения:

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида:

sin x cos x tg x ctg x

где а – любое действительное число.

Решить простейшее тригонометрическое уравнение – значит найти множество всех углов (дуг), имеющих данное значение тригонометрической функции.

Рассмотрим решение простейших тригонометрических уравнений.

1. Sin x = a

a) Если 1

a=0

b) Если 2

a=1

c) Если 3

a=-1

d) а здесь нет решений;

e) ето получаем два решения: е

Часто эти решения объединяют в одну формулу е которая дает е при е и е при е.

f) Формула для корней уравнения е имеет вид: ф

2. Cos x=a

a) Если 1

1

b) Если 2

2

c) Если 3

3

d) 4

e) 5

f) Формулы для корней уравнения 5 имеет вид: 5

3. Tg x=a.

a) Если 1

1

b) 2

c) 3

d) 4

e) Формула для корней уравнения 5 имеет вид: 5

4.    Ctg x=a.

a)   

1

1

b)   

2

c)   

3

d)   

4

Тригонометрические уравнения вида a   где a - линейная функция,   любые действительные числа, также относятся к простейшим уравнениям.

Пример 1.  Решить уравнение  .

Решение. Данное уравнение является однородным относительно   и  . Рассмотрим такие x, что   . Из исходного уравнения следует, что и  . Но это невозможно, так как   для любых x. Следовательно,  , поэтому   ,  ,   

Ответ: 

Пример 2.  .

 Решение. Решим уравнение относительно  .

 , отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

Если k = 2n (четное), то

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то 1 

Ответ: x1 

или в градусах: х = 25° + 120· n,  nÎZ;   x = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 3.  .

Решение. Подставим вместо   значение  , тогда уравнение при­мет вид   

По формуле для уравнения   находим

Ответ:   

 

 

Последнее изменение: Четверг, 11 Август 2011, 12:32