Элементы тригонометрии и Офисные информационные технологии

Методы решения тригонометрических уравнений

 Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов:  преобразование уравнения для получения его простейшего вида  и  решение полученного простейшего тригонометрического уравнения. Существует семь основных методов решения  тригонометрических уравнений.

  Алгебраический метод. 

 Этот метод нам хорошо известен из алгебры ( метод замены переменной и подстановки).

Пример. Решить уравнение:

Решение. Используя формулы приведения, имеем:    делаем замену:    тогда

 находим корни:  откуда следуют два случая:

1)   

2)   

Ответ:

Разложение на множители. 

 Этот метод рассмотрим на примерах.

 Пример1. Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .

 Решение: Перенесём все члены уравнения влево:                                                          sin x + cos x – 1 = 0 , преобразуем и разложим на множители выражение в  левой части уравнения:

     1)   

     2)   

Ответ:

   Пример 2. Решить уравнение:  cos ² x + sin x · cos x = 1.

 Решение.  

 

     1)   

     2)   

Ответ:   

    Пример3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 

     Решение.    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,

 2 cos 4x cos 2x = 2 cos ² 4x ,  cos 4x · ( cos 2x –  cos 4x ) = 0 ,

cos 4x · 2 sin 3x · sin x = 0 ,

1) cos 4x = 0 ,               

 2) sin 3x = 0 ,          

3) sin x = 0 ,

Ответ:                         

Пример 4.

Решение.   cosx ¹ 0; x ¹ p/2 + pn, nÎZ.

sinx + sinx/cosx = sin²x / cosx . Умножим обе части уравнения на cosx.

sinx · cosx + sinx - sin²x = 0; sinx(cosx + 1 - sinx) = 0;

sinx = 0 или cosx - sinx +1=0;

x1 =  pn, nÎZ; cosx - cos(p/2 - x) = -1; 2sin p/4· sin(p/4 - x) = -1;

Ö2 · sin(p/4 - x) = -1; sin(p/4 -x) = -1/Ö2; p/4 - x = (-1) ⁿ⁺¹ arcsin 1/Ö2 + pn, nÎZ;

x2 = p/4 - (-1) ⁿ⁺¹ · p/4 - pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1) ⁿ · p/4 + pn, nÎZ.

Если n = 2n (четное), то x = p/2 + pn, если n = 2n + l (нечетное), то x = pn.

Ответ: x1 = pn, nÎZ; x2 = p/4 + (-1)ⁿ · p/4 + pn, nÎZ.