|
Приведение к однородному уравнению . Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо: а) перенести все его члены в левую часть; б) вынести все общие множители за скобки; в) приравнять все множители и скобки нулю; г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени; д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan . Пример. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2. Решение . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x , sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 , корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда 1) tan x = –1, 2) tan x = –3, 
|
Преобразование произведения в сумму.
Здесь используются соответствующие формулы.
П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x
Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
cos 8x = 0 ,
8x = p / 2 + p k ,
x = p / 16 + p k / 8 .
Ответ: x = p / 16 + p k / 8 .
Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул сложения, понижения степени
Рассмотрим на примере:
Пример . 
Решение . По формуле 
выражение 
заменим выражением
Уравнение примет вид:
Это уравнение разложим на множители:
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е.
следовательно,
следовательно, 