Приведение к однородному уравнению .

Уравнение называется однородным относительно sin и cos , если все его члены одной и той же степени относительно sin и cos одного и того же угла . Чтобы решить однородное уравнение, надо:

а) перенести все его члены в левую часть;

б) вынести все общие множители за скобки;

в) приравнять все множители и скобки нулю;

г) скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на cos ( или sin ) в старшей степени;

д) решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan .

Пример. Решить уравнение: 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.

Решение . 3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,

sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 ,

tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 , отсюда y 2 + 4y +3 = 0 ,

корни этого уравнения: y 1 = -1, y 2 = -3, отсюда

1) tan x = –1, 2) tan x = –3,

Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.

П р и м е р . Решить уравнение: 2 sin x · sin 3x = cos 4x

Р е ш е н и е . Преобразуем левую часть в сумму:

cos 4x – cos 8x = cos 4x ,

cos 8x = 0 ,

8x = p / 2 + p k ,

x = p / 16 + p k / 8 .

Ответ: x = p / 16 + p k / 8 .

 Тригонометрические уравнения, решаемые с помощью формул сложения, понижения степени

Рассмотрим на примере:

Пример .

Решение . По формуле выражение  заменим выражением Уравнение примет вид: Это уравнение разложим на множители:

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, т.е. следовательно, следовательно,  

Последнее изменение: четверг, 11 августа 2011, 12:32