Тригонометрические уравнения, содержащие тригонометрические функции одинакового аргумента
Рассмотрим тригонометрические уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций.
Т.к. все тригонометрические функции рационально выражаются через sinx и cosx, то в общем случае рациональное уравнение относительно тригонометрических функций одного аргумента можно представить в виде
Где R – рациональная функция относительно sinx и cosx.
Если
корнями исходного уравнения.
Если уравнение вида (1) или приводимое к нему при замене
Если уравнение (1) или приводимое к нему не изменяется при замене
Если уравнение (1) или приводимое к нему при замене
Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.
sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j = p/2 + 2pn, nÎZ.
Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.
Пример 2.
Решение. Применим формулы
Уравнения (*) и (**) равносильны.
Пусть
Т.о. исходное уравнение (*) равносильно совокупности трех уравнений
которые имеют соответственно решения
Ответ:
Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:
a sin2x + b sinxcosx + c cos2x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или
a sin3x + b sin2x cosx + c sinx cos2x + d sin3x = 0 (однородное уравнение 3-й степени) и т.д.
Общий вид однородного тригонометрического уравнения:
В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sinnx или на cosnx и приводятся к уравнениям относительно tgx или ctgx:
или
Справедливы соотношения:
4)
5)
Уравнение вида a
Уравнение вида
Уравнение вида
Называется однородным уравнением второй степени относительно
Уравнение (2) равносильно уравнению (1), т.к. корни уравнения cos2 f(x)=0
Однако если a=0, то уравнение (1) принимает вид
Пример.
Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.
Получим уравнение
Разделим на cos22x. Уравнение примет вид
Пусть z = tg2x, тогда
2x = p/3 + pn, nÎZ; 2x = p/6 + pn, nÎZ;
x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.
Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.