Учебная практика

             Рассмотрим квазилинейное дифференциальное уравнение
вида x₀(t) = a(t)x(t) + f(t) + µϕ(t,x(t)),      (2.8)       где a,f : R→R, ϕ : R2→R – непрерывные функции, функция a(t) — 

периодическая с наименьшим положительным периодом ω,µ∈R — малый параметр. Всюду далее будем считать, что 

среднее значение функции a(t) отлично от нуля. Исследуем условия, обеспечивающие существование у уравнения (2.8) 

ограниченных на всей оси и периодических решений. Доказательство соответствующих результатов проведем двумя 

способами: с использованием принципа сжимающих отображений и принципа неподвижной точки Шаудера. Применение 

принципа сжимающих отображений к доказательству существования периодических решений нелинейных 

дифференциальных уравнений можно найти, например, в [15]. Имеет место следующий результат. 

             Теорема 2.7. Пусть a,f:R→R, ϕ:R2→R — непрерывные функции, функция a(t) является ω-периодической, среднее 

значение функции a(t) отлично от нуля. Пусть, кроме того, функция ϕ(t,x) удовлетворяет условиям: 

1) функция ϕ(t,x) ограничена в каждой полосе D_r={(t,x) : t∈R,|x|≤r}, r>0, т. е. для произвольного числа r>0 найдется такое 

число M_r, что для всех (t,x)∈D_r справедлива оценка |ϕ(t,x)|≤ M_r; 

2) в каждой полосе D_r функция ϕ(t,x) удовлетворяет условию Липшица по x, т. е. для произвольного числа r>0 найдется 

такое число L_r, что для произвольной пары точек (t,x₁),(t,x₂)∈D_r справедлива оценка |ϕ(t,x₁)−ϕ(t,x₂)|≤ Lr|x₁ −x₂|. Если 

функция f(t) ограничена на всей оси, то существует такое число µ₀, что для каждого µ, такого что  |µ|≤µ₀ уравнение (2.8) 

имеет ограниченное на всей оси решение xµ(t), причем xµ(t)→ равномерно по t∈R при µ→0, где — 

единственное ограниченное на R решение уравнения x'(t)=a(t)x(t)+f(t).     (2.9)

Доказательство. 

              Рассмотрим теперь вопросы существования ω-периодических решений уравнения (2.8).

              Теорема 2.8. Пусть a,f : R→R, ϕ : R2→R — непрерывные функции, функции a(t) и f(t) являются ω-периодическими, 

среднее значение функции a(t) отлично от нуля. Пусть, кроме того, функция ϕ(t,x) является ω-периодической по t, т. е. 

ϕ(t+ω,x)≡ϕ(t,x), и в каждой полосе D_r={(t,x) : t∈R, |x|≤r}, r>0, удовлетворяет условию Липшица по x, т. е. для произвольного 

числа r>0 найдется такое число L_r, что для произвольной пары (t,x1),(t,x2)∈D_r справедлива оценка 

|ϕ(t,x₁)−ϕ(t,x₂)|≤L_r|x₁−x₂|.

              Тогда существует такое число µ₀, что для каждого µ, такого что |µ|≤µ₀ уравнение (2.8) имеет ω-периодическое 

решение xµ(t), причем xµ(t) →равномерно по t∈R при µ→0, где— единственное ω-периодическое решение 

уравнения (2.9).

Доказательство.

              Проиллюстрируем теперь применение принципа Шаудера для доказательства этого результата.

              Лемма 2.1. Для того чтобы подмножество пространства P_ω было относительно компактным, необходимо и 

достаточно, чтобы оно было равномерно ограниченным и равностепенно непрерывным на отрезке [0,ω].

Доказательство.