2.1. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.


             В этой параграфе излагаются известные классические результаты об ограниченных и периодических решениях 
линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическим коэффициентом.Приведеннаяздесьтеориячастично содержится в книге Н.П. Еругина [4]. 


             Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение x'(t)=a(t)x(t)+b(t), (2.1) где a(t) — непрерывная 
ω-периодическая функция. Исследуем вопросы существования ограниченных и периодических решений уравнения (2.1). 
Обозначим через ma среднее значение функции a(t):




            Теорема 2.1. Пусть среднее значение функции a(t) отлично от нуля, а функция b(t) непрерывна и ограничена на R. 
Тогда уравнение (2.1) имеет единственное ограниченное на R решение, которое имеет вид: 


1) если ma > 0, то 

2) если ma < 0, то 


Доказательство. 


              Рассмотрим теперь случай, когда ma=0. 


              Теорема 2.2. Если ma=0, а функция b(t) непрерывна и ограничена на R, то либо все решения уравнения (2.1) 
ограничены на R, либо все решения неограничены на R.


Доказательство. 


              Из теорем 2.1 и 2.2 вытекает следующий результат. 


              Теорема 2.3. Пусть функция a(t) непрерывна и является ω-периодической. Для того, чтобы уравнение (2.1) для 
любого свободного члена b(t)∈BC(R) имело решение x(t)∈BC(R), необходимо и достаточно, чтобы ma \neq 0. 


Доказательство.


              Рассмотрим теперь случай, когда функция b(t) является ω-периодической.


              Теорема 2.4. Пусть функции a(t) и b(t) непрерывны и являются ω-периодическими. Тогда все ограниченные 
решения уравнения (2.1) являются ω-периодическими. 


Доказательство. 


              В процессе доказательства предыдущего результата было получено следующее полезное утверждение. 


              Теорема 2.5. Пусть функция a(t) непрерывна и является ω-периодической, причем ma=0. Для того чтобы при 
данной непрерывной ω-периодической функции b(t) уравнение (2.1) имело ω-периодическое решение, необходимо и 
достаточно, чтобы 



              При этом все решения уравнения (2.1) являются ω - периодическими. Исследуем вопросы устойчивости уравнения 
(2.1). Приведем основные определения теории устойчивости. Рассмотрим систему уравнений первого порядка




              Определение 2.1. Решение y=y(t), (a<t<+∞) называется устойчивым по Ляпунову при t→+∞, если для любых ε>0 и 
t0∈(a,+∞) существует такое δ=δ(ε,t0)>0, что все решения ψ(t) системы (2.7), удовлетворяющие условию ||y(t0)−ψ(t0)||<δ, 
определены в промежутке t0<t<+∞, и для этих решений справедливо неравенство ||y(t)−ψ(t)||<ε, t0≤t<+∞. 


              Определение 2.2. Если число δ>0 можно выбрать не зависящим от начального момента t0∈T, то устойчивость 
называется равномерной в области T.


              Определение 2.3. Решение y=y(t), (a<t<+∞) называется асимптотически устойчивым при t→+∞, если: 


1) это решение устойчиво по Ляпунову; 
2) для любого t0∈(a,+∞) существует такое ∆=∆(t0)>0, что все решения ψ(t)   (t0 ≤t<+∞) системы (2.7), удовлетворяющие условию ||y(t0)−ψ(t0)||<∆, обладают свойством


              Определение 2.4. Если решение y=y(t), (a<t<+∞) асимптотически устойчиво при t→+∞, причем ∆=∞, то решение 
y=y(t) называется асимптотически устойчивым в целом. 


              Если система (2.7) является линейной, то с точки зрения устойчивости все решения ведут себя одинаково. В этом 
случае говорят об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости линейной системы. 


              Имеет место следующий результат. 


              Теорема 2.6. Пусть функция a(t) непрерывна и является ω-периодической. Если ma<0, то уравнение (2.1) 
равномерно асимптотически устойчиво в целом. Если ma=0, то уравнение (2.1) равномерно устойчиво. 


Доказательство.