Учебная практика

              В этом и следующих пунктах будут рассматриваться периодические функции, определенные на множестве R всех 

действительных чисел. 

              Исследуем свойства множества всех периодов периодической функции.

              Утверждение 1.4. (Элементарные свойства множества периодов). 

1. Если числа ω₁ и ω₂ являются периодами функции f(t), то ω₁+ω₂ также является периодом функции f(t). 

2. Если число ω является периодом функции f(t), то для произвольного целого k число kω является периодом функции f(t). 

Доказательство.

              Определение 1.2. Множество X называется группой относительно внутренней операции +,если выполнены 

следующие условия. 

1. Для любых элементов x,y,z∈X    x+(y+z)=(x+y)+z.

2. Множество X содержит такой элемент 0, называемый нулем, что для любого x∈X   x+0=0+x=x. 

3. Для любого x∈X существует элемент −x,называемый противоположным элементу x, такой что x+(−x)=−x+x=0. Если для 

любых x,y∈X выполнено x+y=y+x, то группа называется коммутативной, или абелевой.

              Определение 1.3. Подмножество группы X, являющееся группой относительно операции, определенной в X, 

называется подгруппой группы X.

              Подгруппа, отличная от тривиальной и от всей группы, называется собственной. 

              Для того чтобы подмножество Y группы X являлось подгруппой X, необходимо и достаточно, чтобы для любых 

элементов x и y из Y элементы x+y, −x также принадлежали подмножеству Y . 

              Утверждение 1.5. Множество периодов Ω_f периодической функции f(t) является коммутативной группой 

относительно сложения. 

Доказательство.

              Определение 1.4. Группа X относительно операции + называется циклической, если существует такой элемент 

x₀∈X, что любой элемент y∈X представим в виде y=kx₀, где k∈Z. Группа X называется в этом случае порожденной 

элементом x₀. 

              В дальнейшем подмножество вещественных чисел, являющееся группой относительно сложения в R, будем 

называть аддитивной подгруппой R. При этом циклическую аддитивную подгруппу из R, не совпадающую с тривиальной 

подгруппой {0}, иногда будем называть дискретной. 

              Утверждение 1.6. Пусть X—аддитивная подгруппа R. Тогда замыкание X также является аддитивной подгруппой R. 

Доказательство.

              Теорема 1.1. Любая замкнутая аддитивная подгруппа R либо совпадает с R, либо состоит из одного нуля, либо 

имеет вид {ka; k∈Z}, где a$\neq$0 (т. е. является циклической). 

Доказательство.

              Определение 1.5. Подмножество Y из R называется всюду плотным в R,если его замыкание Y совпадает с 

R.Другими словами, если для любого y∈R найдется такая последовательность {y_n} из Y , что y_n→y при n→∞. В общем 

случае справедливо следующее утверждение.

              Теорема 1.2. Пусть f(t) — отличная от постоянной периодическая функция. Тогда выполнено одно из следующих 

условий. 

1. Функция f(t) имеет наименьший положительный период ω₀, и множество ее периодов Ω_f является циклической 

аддитивной подгруппой, порожденной элементом ω₀. 

2. Функция f(t) не имеет наименьшего положительного периода и множество ее периодов Ω_f является собственной 

аддитивной подгруппой R, всюду плотной в R.

Доказательство.

              В следующем утверждении приведены достаточные условия, обеспечивающие существование у периодической 

функции наименьшего положительного периода. 

              Теорема 1.3. Пусть f(t) —, отличная от постоянной. Если существуют такие интервалы 

(a_n,b_n)  (n = 1,2,...), что последовательность {ε_n} колебаний f(t) на (a_n,b_n) стремится к нулю при n→∞, то функция f(t) имеет 

наименьший положительный период. 

Доказательство.

              Следствие1.3. Если периодическая и отличная от постоянной функция непрерывна в некоторой точке, то она 

имеет наименьший положительный период.

              Замечание. Как вытекает из следствия 1.3, если множество периодов отличной от постоянной периодической 

функциив R, то эта функция разрывна в каждой точке. 

              Пусть Ω — нетривиальная (т. е. отличная от R и {0}) аддитивная подгруппа R. Покажем, как построить функцию 

Φ(t), множество периодов которой совпадает с Ω. 

              Введем в R отношение эквивалентности: t ∼ τ, если t−τ∈Ω. Тогда R разбивается на непересекающиеся классы H, 

состоящие из эквивалентных элементов [5]. Каждый такой класс можно представить в виде H={τ+Ω}, где τ — произвольный 

элемент из H. 

              Определим на R функцию Φ(t), которая принимает одинаковые значения на элементах одного и того же класса, 

т. е. Φ(t)=c(H) для t∈H, где c(H) — константа, определяемая классом H, потребовав, чтобы c(H₀)$\neq$c(H), для всех 

H$\neq$H₀=Ω. 

Тогда Φ(t) — периодическая функция, множество периодов которой совпадает с Ω.

               Действительно, если t∈R и ω∈Ω, то числа t и t+ω принадлежат одному и тому же классу, поэтому Φ(t+ω)=Φ(t). 

В тоже время, если Φ(t+ω₁)=Φ(t) для всех t∈R, то, в частности, Φ(ω₁)=Φ(0). Если ω₁∈H, то c(H)=c(Ω), следовательно, H=Ω, 

т. е. ω₁∈Ω. 

               Замечание. Фактически можно трактовать периодическую функцию Φ как функцию, определенную на 

факторгруппе R/Ω. В случае когда Ω={kω₀; k∈Z} — циклическая подгруппа, классы эквивалентности имеют вид: 

Ht={t+kω₀; k∈Z}, t∈[0,ω₀), а фактор-группа R/Ω изоморфна группе [0,ω₀) с операцией сложения по модулю ω₀.