Учебная практика

            Для математического описания переменных величин, характеризующих явления, используются различные типы

функций.Так, для величин,значения которых регистрируются через определенные промежутки времени, используются

дискретные функции, т. е. функции натурального или целого аргумента. В связи с этим мы даем общее определение

периодической функции, хотя в основном будут рассматриваться только периодические функции, определенные на

множестве всех действительных чисел.

            Определение 1.1. Функция f(t), определенная на множестве D(f) из R и принимающая действительные или

комплексные значения, называется периодической, если существует такое ω$\neq$ 0, что для любых t∈D(f) числа t+ω и t−ω

также принадлежат D(f), и выполняется равенство f(t+ω)=f(t).   (1.1) 

            Заменяя в равенстве (1.1) t на t−ω, получим, что f(t)=f(t−ω). Если f -периодическая, то любое число ω (в том числе и

ω=0), удовлетворяющее условию (1.1) для любых t∈D(f), будем называть периодом функции f(t). Множество всех периодов

функции f(t) обозначим Ω_f. 

Примеры

            Утверждение 1.1. Пусть функции f(t) и g(t) определены на множестве X и имеют общий период ω$\neq$0.

Тогда функции Cf(t), где C—константа, f(t)+g(t), f(t)$\ast$g(t) и f(t)$\div$g(t)  (g(t)$\neq$0) являются ω-периодическими.

            Доказательство этого утверждения очевидно. Отметим, что в данном случае функции f(t) и g(t) имеют общий период.

              Следствие 1.1. Линейная комбинация    ω-периодических функций является ω-периодической

функцией.

              Следствие 1.2. Множество всех определенных на X комплекснозначных (вещественнозначных) ω-периодических

функций, является линейным пространством.

              Утверждение 1.2. Пусть f(t) — определенная на множестве X ω-периодическая функция. Тогда функция

F(t)=f(at+b), где a$\neq$0, определена на множестве

 и является периодической с периодом .

Доказательство. 

              Утверждение 1.3. Если f(t) — ω-периодическая функция, g(t) — произвольная функция, область определения

которой содержит множество значений функции f(t), то функция F(t)=g(f(t)) является ω-периодической функцией.

Доказательство.

              Замечание. Основным в определении периодической функции является равенство (1.1) f(t+ω) = f(t),

характеризующее повторяемость процесса через определенные промежутки времени. Оно требует от области определения

D(f) лишь следующего условия: для каждого t из D(f) точка t+ω принадлежит D(f). В то же время, если в этом случае

расширить D(f), добавив точки множества {t−nω : t∈D(f), n∈N}, то f(t) однозначно продолжается на новое множество

с сохранением условия периодичности (1.1). При этом — наименьшее среди всех множеств, содержащих D(f) и

обладающих таким свойством. Поэтому в определении периодической функции f(t) мы заранее требуем от области

определения функции f(t) выполнения условия: t±ω∈D(f) при всех t∈D(f).