Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений.
ВВЕДЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Работа над этим пособием была начата еще в 2006 году под руководством и при активном участии нашего научного руководителя, замечательного ученого и учителя с большой буквы Пуляева Василия Федоровича и приостановилась в связи с его безвременной кончиной. Совместно с Василием Федоровичем был составлен подробный план и собран основной материал для будущего издания.
По прошествии нескольких лет нами было принято решение завершить этот совместно начатый труд.
В пособии собраны материалы специального курса, посвященного периодическим функциям и решениям дифференциальных уравнений, много лет читаемого авторами.
Периодические функции играют важную роль в науке и технике, так как многие явления природы и искусственные процессы периодичны по времени. Это электромагнитные колебания, приливы, звуковые волны. Рассмотренные в пособии вопросы существования периодических и ограниченных решений уравнений могут возникать при изучении различных задач, возникающих в биологии и механике.
Пособие состоит их двух глав. В первой главе систематизированы основные свойства периодических функций. Несмотря на большую значимость этих функций и их широкое применение, найти учебное издание, в котором были бы собраны основные результаты, оказалось затруднительно. Большинство классических учебников содержат лишь определение периодической функции и в некоторых случаях простейшие свойства. Поэтому авторы пособия ставили перед собой задачу систематизировать имеющуюся информацию, дополнив при необходимости доказательствами. Кроме того, в этом разделе дана подборка задач, способствующих усвоению изучаемого материала.
Во второй главе рассмотрены вопросы существования ограниченных и периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка. В первом параграфе приведены подробные доказательства известных результатов об ограниченных и периодических решениях линейного дифференциального уравнения первого порядка с периодическим коэффициентом. В классических учебниках по дифференциальным уравнениям этому вопросу не уделяется достаточного внимания. Частично эти результаты содержатся в «Книге для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений» Еругина Н.П.
Во втором параграфе рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение первого порядка с малым параметром. Проиллюстрировано применение принципа сжимающих отображений и принципа Шаудера к исследованию существования периодических и ограниченных решений.
Третий и четвертый параграфы этой главы посвящены рассмотрению систем нелинейных дифференциальных уравнений с периодической правой частью и нелинейных дифференциальных уравнений с периодической по t и монотонной по x правой частью.
Вторая глава также содержит подборку задач.
Пособие предназначено в первую очередь для студентов факультета математики и компьютерных наук направления «Математика», обучающихся по профилям «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», «Математическое моделирование» также для магистрантов программы «Функциональный анализ».
В работе используются следующие обозначения:
N – множество натуральных чисел;
Z – множество целых чисел;
R – множество действительных чисел;
C[a;b] — банахово пространство непрерывных отображений x:[a;b]→R с нормой
BC(R) – банахово пространство непрерывных и ограниченных отображений x:R→R с нормой Pω={x∈BC(R) : x(t+ω)=x(t), t∈R}.