Элементы тригонометрии и Офисные информационные технологии

Тригонометрические уравнения, содержащие тригонометрические функции одинакового аргумента

Рассмотрим тригонометрические уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций.

Т.к. все тригонометрические функции рационально выражаются через sinx и cosx, то в общем случае рациональное уравнение относительно тригонометрических функций одного аргумента можно представить в виде

Где R – рациональная функция относительно sinx и cosx.

Если  то любое тригонометрическое уравнение вида (1), рационально относительно всех входящих в него тригонометрических функций, можно привести к рациональному уравнению относительно неизвестного  с помощью формул, выражающих тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента. Однако, решая уравнение таким методом, можно потерять корни вида            для которых  не имеет смысла. Поэтому необходимо проверять, являются ли числа

 

 корнями исходного уравнения.

Если уравнение вида (1) или приводимое к нему при замене  не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно sinx.

Если уравнение (1) или приводимое к нему не изменяется при замене  то его имеет смысл приводить к рациональному относительно cosx.

Если уравнение (1) или приводимое к нему при замене  не изменяется, то его имеет смысл приводить к рациональному относительно tgx.

Пример 1. 3sinx + 4cosx = 5.

Решение. Разделим обе части уравнения на 5, тогда 3/5sinx + 4/5cosx = 1.

sinj = 4/5; cosj = 3/5; sin(x+j) = 1, x + j =  p/2 + 2pn, nÎZ.

Ответ: x = p/2 - arcsin 4/5 + 2pn, nÎZ.

Пример 2.  (*)

Решение. Применим формулы  представим заданное уравнение в виде  (**)

Уравнения (*) и (**) равносильны.

Пусть

Т.о. исходное уравнение (*) равносильно совокупности трех уравнений

которые имеют соответственно решения   

Ответ:

   Однородные уравнения

Однородные тригонометрические уравнения имеют такой вид:

a sin²x + b sinxcosx + c cos²x = 0 (однородное уравнение 2-й степени) или

a sin³x + b sin²x cosx + c sinx cos²x + d sin³x = 0 (однородное уравнение 3-й степени)  и т.д.

Общий вид однородного тригонометрического уравнения:

.

В этих уравнениях sinx ¹ 0, cosx ¹ 0. Решаются они делением обеих частей уравнения на sinⁿx или на cosⁿx и приводятся к уравнениям отно­сительно tgx или ctgx:

или

 

Справедливы соотношения:

1)   tg a ctg a=1

2)   tg a=1/ctg a

3)   ctg a=1/tg a

4)   1+tg²a=1/cos²a

5) 1+ctg²a=1/sin²a

 Уравнение вида atg x+bctgx+c=0 приводится к квадратному уравнению одной тригонометрической функции путем замены  ctgx=1/tgx 

Уравнение вида называется однородным первой степени относительно sinx и cosx.  Оно решается делением обеех частей на  В результате получается уравнение вида atg x+b=0.

Уравнение вида

Называется однородным уравнением второй степени относительно sin f(x) и cosf(x) если все три коэффициента a, b, k или какие-либо два из них отличны от нуля. Считая, что   разделим обе части уравнения на  тогдаполучим:

Уравнение (2) равносильно уравнению (1), т.к. корни уравнения cos² f(x)=0 не являются корнями уравнения (1).

Однако если a=0, то уравнение (1) принимает вид  которое решается разложением левой части на множетели:

Пример.  

Решение. Разложим sin4x по формуле синуса двойного угла.

Получим уравнение  

Разделим на cos²2x. Уравнение примет вид  

Пусть z = tg2x, тогда  Д = 4;  

2x = p/3 + pn, nÎZ;         2x = p/6 + pn, nÎZ;

x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.

Ответ: x1 = p/6 + pn/2, nÎZ ; x2 = p/12 + pn/2, nÎz.