Учебная практика

ВВЕДЕНИЕ

             Работа над этим пособием была начата еще в 2006 году под руководством и при активном участии нашего научного руководителя, замечательного ученого и учителя с большой буквы Пуляева Василия Федоровича и приостановилась в связи с его безвременной кончиной. Совместно с Василием Федоровичем был составлен подробный план и собран основной материал для будущего издания. 

             По прошествии нескольких лет нами было принято решение завершить этот совместно начатый труд. 

             В пособии собраны материалы специального курса, посвященного периодическим функциям и решениям дифференциальных уравнений, много лет читаемого авторами. 

             Периодические функции играют важную роль в науке и технике, так как многие явления природы и искусственные процессы периодичны по времени. Это электромагнитные колебания, приливы, звуковые волны. Рассмотренные в пособии вопросы существования периодических и ограниченных решений уравнений могут возникать при изучении различных задач, возникающих в биологии и механике. 

             Пособие состоит их двух глав. В первой главе систематизированы основные свойства периодических функций. Несмотря на большую значимость этих функций и их широкое применение, найти учебное издание, в котором были бы собраны основные результаты, оказалось затруднительно. Большинство классических учебников содержат лишь определение периодической функции и в некоторых случаях простейшие свойства. Поэтому авторы пособия ставили перед собой задачу систематизировать имеющуюся информацию, дополнив при необходимости доказательствами. Кроме того, в этом разделе дана подборка задач, способствующих усвоению изучаемого материала. 

             Во второй главе рассмотрены вопросы существования ограниченных и периодических решений дифференциальных уравнений первого порядка. В первом параграфе приведены подробные доказательства известных результатов об ограниченных и периодических решениях линейного дифференциального уравнения первого порядка с периодическим коэффициентом. В классических учебниках по дифференциальным уравнениям этому вопросу не уделяется достаточного внимания. Частично эти результаты содержатся в «Книге для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений» Еругина Н.П. 

             Во втором параграфе рассматривается квазилинейное дифференциальное уравнение первого порядка с малым параметром. Проиллюстрировано применение принципа сжимающих отображений и принципа Шаудера к исследованию существования периодических и ограниченных решений.  

             Третий и четвертый параграфы этой главы посвящены рассмотрению систем нелинейных дифференциальных уравнений с периодической правой частью и нелинейных дифференциальных уравнений с периодической по t и монотонной по x правой частью. 

             Вторая глава также содержит подборку задач. 

             Пособие предназначено в первую очередь для студентов факультета математики и компьютерных наук направления «Математика», обучающихся по профилям «Вещественный, комплексный и функциональный анализ», «Математическое моделирование» также для магистрантов программы «Функциональный анализ». 

             В работе используются следующие обозначения: 

N – множество натуральных чисел; 

Z – множество целых чисел; 

R – множество действительных чисел; 

C[a;b] — банахово пространство непрерывных отображений x:[a;b]→R с нормой 
 

BC(R) – банахово пространство непрерывных и ограниченных отображений x:R→R с нормой 
 
P_ω={x∈BC(R) : x(t+ω)=x(t), t∈R}.