Passer au contenu principal
СМДО КубГУ
Vous êtes connecté anonymement (
Connexion
)
Français (fr)
Русский (ru)
Deutsch (de)
English (en)
Français (fr)
Учебная практика
Chemin de la page
Accueil
/
►
Cours
/
►
Ресурсы подразделений КубГУ
/
►
Факультет Математики и компьютерных наук
/
►
Учебная практика ФМиКН
/
►
Ограниченные и периодические решения дифференциал...
/
►
Ограниченные и периодические решения дифференциал...
Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений.
1.2. СВОЙСТВА МНОЖЕСТВА ПЕРИОДОВ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ.
В этом и следующих пунктах будут рассматриваться периодические функции, определенные на множестве
R
всех
действительных чисел.
Исследуем свойства множества всех периодов периодической функции.
Утверждение 1.4.
(Элементарные свойства множества периодов).
1
. Если числа
ω
1
и
ω
2
являются периодами функции
f(t)
, то
ω
1
+ω
2
также является периодом функции
f(t)
.
2
. Если число
ω
является периодом функции
f(t)
, то для произвольного целого
k
число
kω
является периодом функции
f(t)
.
Доказательство.
Определение 1.2.
Множество
X
называется группой относительно внутренней операции
+
,если выполнены
следующие условия.
1
. Для любых элементов
x,y,z∈X
x+(y+z)=(x+y)+z
.
2
. Множество
X
содержит такой элемент
0,
называемый нулем, что для любого
x∈X
x+0=0+x=x
.
3
. Для любого
x∈X
существует элемент
−x
,называемый противоположным элементу
x
, такой что
x+(−x)=−x+x=0
. Если для
любых
x,y∈X
выполнено
x+y=y+x
, то группа называется коммутативной, или абелевой.
Определение 1.3.
Подмножество группы
X
, являющееся группой относительно операции, определенной в
X
,
называется подгруппой группы
X
.
Подгруппа, отличная от тривиальной и от всей группы, называется собственной.
Для того чтобы подмножество
Y
группы
X
являлось подгруппой
X
, необходимо и достаточно, чтобы для любых
элементов
x
и
y
из
Y
элементы
x+y
,
−x
также принадлежали подмножеству
Y
.
Утверждение 1.5
. Множество периодов
Ω
f
периодической функции
f(t)
является коммутативной группой
относительно сложения.
Доказательство.
Определение 1.4
. Группа
X
относительно операции
+
называется циклической, если существует такой элемент
x
0
∈X
, что любой элемент
y∈X
представим в виде
y=kx
0
, где
k∈Z
. Группа
X
называется в этом случае порожденной
элементом
x
0
.
В дальнейшем подмножество вещественных чисел, являющееся группой относительно сложения в
R
, будем
называть
аддитивной подгруппой
R
. При этом циклическую аддитивную подгруппу из
R
, не совпадающую с тривиальной
подгруппой
{0}
, иногда будем называть дискретной.
Утверждение 1.6.
Пусть
X
—аддитивная подгруппа
R
. Тогда замыкание
X
также является аддитивной подгруппой
R
.
Доказательство.
Теорема 1.1
. Любая замкнутая аддитивная подгруппа
R
либо совпадает с
R
, либо состоит из одного нуля, либо
имеет вид
{ka; k∈Z}
, где
a
0
(т. е. является циклической).
Доказательство.
Определение 1.5
. Подмножество
Y
из
R
называется всюду плотным в
R
,если его замыкание
Y
совпадает с
R
.Другими словами, если для любого
y∈R
найдется такая последовательность
{y
n
}
из
Y
, что
y
n
→y
при
n→∞
. В общем
случае справедливо следующее утверждение.
Теорема 1.2.
Пусть
f(t)
— отличная от постоянной периодическая функция. Тогда выполнено одно из следующих
условий.
1
. Функция
f(t)
имеет наименьший положительный период
ω
0
, и множество ее периодов
Ω
f
является циклической
аддитивной подгруппой, порожденной элементом
ω
0
.
2.
Функция
f(t)
не имеет наименьшего положительного периода и множество ее периодов
Ω
f
является собственной
аддитивной подгруппой
R
, всюду плотной в
R
.
Доказательство.
В следующем утверждении приведены достаточные условия, обеспечивающие существование у периодической
функции наименьшего положительного периода.
Теорема 1.3.
Пусть
f(t)
—
, отличная от постоянной. Если существуют такие интервалы
(a
n
,b
n
) (n = 1,2,...)
, что последовательность
{ε
n
}
колебаний
f(t)
на
(a
n
,b
n
)
стремится к нулю при
n→∞
, то функция
f(t)
имеет
наименьший положительный период.
Доказательство.
Следствие1.3.
Если периодическая и отличная от постоянной функция непрерывна в некоторой точке, то она
имеет наименьший положительный период.
Замечание.
Как вытекает из следствия 1.3, если множество периодов отличной от постоянной периодической
функции
в
R
, то эта функция разрывна в каждой точке.
Пусть
Ω
— нетривиальная (т. е. отличная от
R
и
{0}
) аддитивная подгруппа
R
. Покажем, как построить функцию
Φ(t)
, множество периодов которой совпадает с
Ω
.
Введем в
R
отношение эквивалентности:
t ∼ τ
, если
t−τ∈Ω
. Тогда
R
разбивается на непересекающиеся классы
H
,
состоящие из эквивалентных элементов [5].
К
аждый такой класс можно представить в виде
H={τ+Ω}
, где
τ
— произвольный
элемент из
H
.
Определим на
R
функцию
Φ(t)
, которая принимает одинаковые значения на элементах одного и того же класса,
т. е.
Φ(t)=c(H)
для
t∈H
, где
c(H)
— константа, определяемая классом
H
, потребовав, чтобы
c(H
0
)
c(H)
, для всех
H
H
0
=Ω
.
Тогда
Φ(t)
— периодическая функция, множество периодов которой совпадает с
Ω
.
Действительно, если
t∈R
и
ω∈Ω
, то числа
t
и
t+ω
принадлежат одному и тому же классу, поэтому
Φ(t+ω)=Φ(t)
.
В тоже время, если
Φ(t+ω
1
)=Φ(t)
для всех
t∈R
, то, в частности,
Φ(ω
1
)=Φ(0)
. Если
ω
1
∈H
, то
c(H)=c(Ω)
, следовательно,
H=Ω
,
т. е.
ω
1
∈Ω
.
Замечание
. Фактически можно трактовать периодическую функцию
Φ
как функцию, определенную на
факторгруппе
R/Ω
. В случае когда
Ω={kω
0
; k∈Z}
— циклическая подгруппа, классы эквивалентности имеют вид:
Ht={t+kω
0
; k∈Z}
,
t∈[0,ω
0
)
, а фактор-группа
R/Ω
изоморфна группе
[0,ω
0
)
с операцией сложения по модулю
ω
0
.
◄ Учебная практика 15 группа
Aller à…
Aller à…
Объявления
Учебная практика 15 группа
Доказательства.
Примеры к главе 1.
Примеры к главе 2.
Список литературы
Вопросы к экзамену
Чат для вопросов.
Тех. раздел.
Доказательства. ►