Учебная практика

             В этой параграфе излагаются известные классические результаты об ограниченных и периодических решениях 

линейных дифференциальных уравнений первого порядка с периодическим коэффициентом.Приведеннаяздесьтеориячастично содержится в книге Н.П. Еругина [4]. 

             Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение x'(t)=a(t)x(t)+b(t), (2.1) где a(t) — непрерывная 

ω-периодическая функция. Исследуем вопросы существования ограниченных и периодических решений уравнения (2.1). 

Обозначим через m_a среднее значение функции a(t):

            Теорема 2.1. Пусть среднее значение функции a(t) отлично от нуля, а функция b(t) непрерывна и ограничена на R. 

Тогда уравнение (2.1) имеет единственное ограниченное на R решение, которое имеет вид: 

1) если m_a > 0, то 

2) если m_a < 0, то 

Доказательство. 

              Рассмотрим теперь случай, когда m_a=0. 

              Теорема 2.2. Если m_a=0, а функция b(t) непрерывна и ограничена на R, то либо все решения уравнения (2.1) 

ограничены на R, либо все решения неограничены на R.

Доказательство. 

              Из теорем 2.1 и 2.2 вытекает следующий результат. 

              Теорема 2.3. Пусть функция a(t) непрерывна и является ω-периодической. Для того, чтобы уравнение (2.1) для 

любого свободного члена b(t)∈BC(R) имело решение x(t)∈BC(R), необходимо и достаточно, чтобы m_a$\neq$0. 

Доказательство.

              Рассмотрим теперь случай, когда функция b(t) является ω-периодической.

              Теорема 2.4. Пусть функции a(t) и b(t) непрерывны и являются ω-периодическими. Тогда все ограниченные 

решения уравнения (2.1) являются ω-периодическими. 

Доказательство. 

              В процессе доказательства предыдущего результата было получено следующее полезное утверждение. 

              Теорема 2.5. Пусть функция a(t) непрерывна и является ω-периодической, причем m_a=0. Для того чтобы при 

данной непрерывной ω-периодической функции b(t) уравнение (2.1) имело ω-периодическое решение, необходимо и 

достаточно, чтобы 

              При этом все решения уравнения (2.1) являются ω - периодическими. Исследуем вопросы устойчивости уравнения 

(2.1). Приведем основные определения теории устойчивости. Рассмотрим систему уравнений первого порядка

              Определение 2.1. Решение y=y(t), (a<t<+∞) называется устойчивым по Ляпунову при t→+∞, если для любых ε>0 и 

t₀∈(a,+∞) существует такое δ=δ(ε,t₀)>0, что все решения ψ(t) системы (2.7), удовлетворяющие условию ||y(t₀)−ψ(t₀)||<δ, 

определены в промежутке t₀<t<+∞, и для этих решений справедливо неравенство ||y(t)−ψ(t)||<ε, t₀≤t<+∞. 

              Определение 2.2. Если число δ>0 можно выбрать не зависящим от начального момента t₀∈T, то устойчивость 

называется равномерной в области T.

              Определение 2.3. Решение y=y(t), (a<t<+∞) называется асимптотически устойчивым при t→+∞, если: 

1) это решение устойчиво по Ляпунову; 

2) для любого t₀∈(a,+∞) существует такое ∆=∆(t₀)>0, что все решения ψ(t)   (t₀ ≤t<+∞) системы (2.7), удовлетворяющие условию ||y(t₀)−ψ(t₀)||<∆, обладают свойством

              Определение 2.4. Если решение y=y(t), (a<t<+∞) асимптотически устойчиво при t→+∞, причем ∆=∞, то решение 

y=y(t) называется асимптотически устойчивым в целом. 

              Если система (2.7) является линейной, то с точки зрения устойчивости все решения ведут себя одинаково. В этом 

случае говорят об устойчивости, асимптотической устойчивости или неустойчивости линейной системы. 

              Имеет место следующий результат. 

              Теорема 2.6. Пусть функция a(t) непрерывна и является ω-периодической. Если m_a<0, то уравнение (2.1) 

равномерно асимптотически устойчиво в целом. Если m_a=0, то уравнение (2.1) равномерно устойчиво. 

Доказательство.