Zum Hauptinhalt
СМДО КубГУ
Sie sind als Gast angemeldet (
Login
)
Deutsch (de)
Русский (ru)
Deutsch (de)
English (en)
Français (fr)
Учебная практика
Seitenpfad
Startseite
/
►
Kurse
/
►
Ресурсы подразделений КубГУ
/
►
Факультет Математики и компьютерных наук
/
►
Учебная практика ФМиКН
/
►
Ограниченные и периодические решения дифференциал...
/
►
Ограниченные и периодические решения дифференциал...
Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений.
2.4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.
Рассмотрим нелинейное дифференциальное уравнение
x'(t)=f(t,x(t))
,
(2.21)
где
f : R
2
→R
— непрерывная
функция.
Вначале изучим вопрос о существовании ограниченных на
R
решений
у
уравнения
(2.21)
. Сформулируем ряд
условий относительно функции
f(t,x):
существуют такие числа
a
и
b
(a≤b)
,
C
a
и
C
b
что
Заметим, что если
C
a
=0
(
C
b
=0
), то условия
A
3
,B
3
(A
4
,B
4
)
выполнены для
f(t,x)
. Справедливо следующее
утверждение.
Теорема 2.15
. Пусть функция
f(t,x)
удовлетворяет условиям
A
1
−A
4
или
B
1
−B
4
. Тогда уравнение
(2.21)
имеет по
крайней мере одно ограниченное на
R
решение, значения которого принадлежат отрезку
[a−|C
a
|,b+|C
b
|]
.
Доказательство.
Замечание.
Если
a=b
и
C
a
=C
b
=0
, то
f(t,a)=0
, и в этом случае
x(t)≡a
— ограниченное решение. Если в уравнении
(2.21)
функция
f(t,x)
монотонна по
x
, то одна из пар условий
(A
3
, A
4
), (B
3
, B
4
)
выполняется при любых
a
и
b
. В этом случае
имеет место следующее утверждение.
Теорема 2.16
. Пусть
f(t,x)
при каждом
t
возрастает по
x
(при каждом
t
убывает по
x
). Тогда для того, чтобы
уравнение
(2.21)
имело ограниченное на
R
решение, необходимо и достаточно, чтобы функция
f(t,x)
удовлетворяла
условиям
A
1
−A
2
(B
1
−B
2
)
.
Доказательство.
Перейдем теперь к изучению нелинейного дифференциального уравнения
(2.21)
в случае, когда функция
f(t,x)
является периодической по
t
. Всюду далее уравнение
(2.21)
будет изучаться при следующих предположениях относительно
f(t,x):
C:
существует такое число
ω>0
, что
f(t+ω,x)=f(t,x), t∈R;
D:
функция
f(t,x)
при каждом
t
возрастает (при каждом
t
убывает) по
x
. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.17
. Пусть функция
f(t,x)
удовлетворяет условиям
C
и
D
. Для того, чтобы уравнение
(2.21)
имело
ограниченное на
R
решение, необходимо и достаточно, чтобы существовало такое
x
0
, что
Доказательство.
Исследуем теперь вопросы периодичности и устойчивости ограниченных решений уравнения
(2.21)
. Справедлива
следующая лемма.
Лемма 2.5.
Пусть функция
f(t,x)
непрерывна и при каждом
t∈R
убывает по
x
. Тогда все решения уравнения
(2.21)
бесконечно продолжимы вправо, и для любых двух решений
x(t)
и
y(t)
функция
r(t)=|x(t)−y(t)|
убывает.
Пусть функция
f(t,x)
непрерывна и при каждом
t∈R
возрастает по
x
. Тогда все решения уравнения
(2.21)
бесконечно продолжимы влево, и для
любых двух решений
x(t)
и
y(t)
функция
r(t)=|x(t)−y(t)|
возрастает.
Доказательство.
Замечание.
Из
леммы 2.5
следует, что если функция
f(t,x)
возрастает по
x
, то задача Коши
x
'
(t)=f(t,x(t)), x(t
0
)=x
0
,
t ≤ t
0
имеет единственное решение. Если же функция
f(t,x)
убывает по
x
, то единственное решение имеет задача
Коши вида
x'(t)=f(t,x(t)), x(t
0
)=x
0
, t ≥ t
0
.
Докажем следующее утверждение.
Лемма 2.6.
Пусть функция
f(t,x)
удовлетворяет условиям
C
и
D
. Если уравнение
(2.21)
имеет два различных
определенных на
R
ограниченных решения
x(t)
и
y(t)
, значения
которых принадлежат отрезку
[α,β],
то оно имеет
бесконечное семейство определенных на
R
решений вида
{z(t)+c}, c∈[0,c
0
] (c
0
>0)
, значения которых принадлежат отрезку
[α,β]
.
Доказательство.
Имеет место теорема.
Теорема 2.18
. Пусть функция
f(t,x)
удовлетворяет условиям
C
и
D
. Тогда все ограниченные решения уравнения
(2.21)
являются периодическими с периодом
ω
.
Доказательство.
Следствие.
Если
f(t,x)
удовлетворяет условиям
C
и
D
и уравнение
(2.21)
имеет ограниченное (
ω
-периодическое)
решение, то существует такой промежуток
<α,β>
вида:
[α,β], (−∞,β], [α,+∞), (−∞,+∞),
что семейство функций
{x(t)+c}
,
c∈<α,β>,
совпадает с множеством всех
ω
-периодических (ограниченных) решений уравнения
(2.21)
.
Доказательство.
Исследуем теперь вопросы единственности и устойчивости
ω
-периодического решений уравнения
(2.21)
.
Непосредственно из
леммы 2.5
вытекает следующий результат.
Теорема 2.19.
Пусть функция
f(t,x)
удовлетворяет условию
C
и при каждом
t
∈R
функция
f(t,x)
убывает по
x
. Тогда
все решения уравнения
(2.21)
устойчивы.
Теорема 2.20.
Пусть функция
f(t,x)
удовлетворяет условиям
C
и
D
и при некотором
t
1
функция
f(t
1
,x)
строго
монотонна. Тогда уравнение
(2.21)
имеет единственное ωпериодическое (ограниченное) решение. Если при этом
f(t,x)
убывает по
x
, то
ω
-периодическое (ограниченное) решение будет равномерно асимптотически устойчиво в целом.
Доказательство.
◄ Учебная практика 15 группа
Direkt zu:
Direkt zu:
Объявления
Учебная практика 15 группа
Доказательства.
Примеры к главе 1.
Примеры к главе 2.
Список литературы
Вопросы к экзамену
Чат для вопросов.
Тех. раздел.
Доказательства. ►